Radon-Transformation

In der Mathematik zweidimensionalen Radon-Transformation, nach Johann Radon genannt, es ist eine Integraltransformation der aus dem Integral einer Funktion auf einen Satz von Linien.

Zum Beispiel, wenn die Leitung mit bezeichnet, wobei der minimale Abstand von dem Ursprung und der Linie ist der Winkel zwischen der Achse der Vektorposition der Punkt der Linie, die am nächsten zu dem Ursprung, dann

In einem Raum dimensional Radon-Transformation ist das Integral der Funktion über der Hyperebenen. Das Integral einer Funktion auf einen Satz von Linien in einem dreidimensionalen Raum wird als Röntgen-Transformierte, aber manchmal wird dieser Begriff von der Radon-Transformation angenommen.

Im Rahmen der Tomographie der Radon-Transformation senograma wird oft als die Radon-Transformierte einer Deltafunktion Antwortcharakteristik eine Brust bezeichnet. Folglich ist die graphische Darstellung der Radon-Transformation eines Satzes von kleinen Gegenständen wie eine Sammlung von Brüsten mit unterschiedlichen Phasen und Amplituden.

Dieser transformierte in seine zweidimensionale und dreidimensionale Version wurde in einem Artikel von Johann Radon 1917, der wiederum erzeugt eine Formulierung für die inverse Transformation eingeführt. Anschließend wurde die antitransformada im Rahmen der Integralgeometrie verbreitet.

Die Radon-Transformation ist nützlich bei TAC und bei der Lösung von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen ist.

Theorem von Fourier Abschnitten

Die Radon-Transformation ist eng mit der Fourier- Transformation. Eine Funktion einer Variablen, die Fourier-Transformation ist wie folgt definiert

und eine Funktion einer zweidimensionalen variablen

für die Bequemlichkeit Änderung Nomenklatur folgt

da wir die Fourier-Transformation in Bezug auf die variabel variabel. Theorem von Fourier Abschnitten wird wie folgt angegeben:

wo

Dieses Ergebnis liefert eine explizite Formel für die Inversion der Radon-Transformation, und gibt auch die Bedingungen, zu wissen, welche Funktion Räume Radontransformation invertierbar ist. Jedoch ist diese Gleichheit nicht sinnvoll von einer numerischen Gesichtspunkt.

Gefilterte Rückprojektion

Gibt es eine inverse Algorithmus rechnerisch effiziente Radon-Transformation für zweidimensionalen Fall genannt gefilterten Rückprojektion. Zunächst den Operator von:

Dieser Operator wird "Overhead", da Rastvorsprünge auf den Geraden und der "Spread" oder retroproyecta, um ein Bild zu erzeugen aufgerufen. Es kann gesehen werden, da der Bediener nicht die inverse Radon-Transformation.

Wir definieren die folgende Variable Rampenfilter

Wenn wir uns nun der Satz Fourier Abschnitte gelten, und ändern Sie die Variablen der Integration, stellen wir fest, dass für eine Funktion von zwei Variablen, und

was bedeutet, dass das Originalbild von der "Sinogramm" Anwenden eines Rampenfilters gewonnen und retroproyectando dann. Da der Filterschritt effizient durchgeführt werden und der Vorsprung ist einfach eine Ansammlung von Werten in den Pixeln des Bildes, ist es eine sehr effizienten Algorithmus, so ist es ein weit verbreiteter Algorithmus.

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