Lebesgue Integral

Mathematik, kann die Integration eines nicht-negative Funktion als der Bereich zwischen den Graphen einer Kurve und der x-Achse angesehen werden. Lebesguesche Integration ist ein mathematisches Konstrukt, das das Konzept der Riemann Integration covencional erstreckt sich zu einem viel breiteren Klasse von Funktionen und erstrecken sich mögliche Bereiche, in denen diese Integrale definiert werden. Lang ist es bekannt, nicht-negative Funktionen mit einer glatt genug Kurve die Fläche unter der Kurve kann als Integral definiert und berechnet unter Verwendung von Techniken der Annäherung der Region durch Rechtecke oder Polygone. Aber wie nötig war, um unregelmäßiger Funktionen zu betrachten, wurde klar, dass ein vorsichtiger Ansatz war nötig, um zu definieren, die eine umfassende mit diesen Problemen zu erfüllen.

Das Lebesgue-Integral spielt eine wichtige Rolle in der realen Analyse und in vielen anderen Bereichen der Mathematik. Sein Name ist zu Ehren seines Entdeckers, Henri Lebesgue.

Einbringen

Das Integral der Funktion f zwischen den Integrationsgrenzen A und B kann als die Fläche unter dem Graphen von f auszulegen. Das ist leicht zu verstehen, dass wir uns bekannten Funktionen wie Polynome, exponentielle oder logarithmische, aber ... was bedeutet es für ein wenig mehr exotische Funktionen oder Fehlverhalten das? Im Allgemeinen, was die Klasse der Funktionen, für die der Begriff der "Fläche unter der Kurve" ist sinnvoll? Die Antwort auf diese Frage hat wichtige theoretische und praktische Bedeutung.

Im Rahmen der Durchbruch der Mathematik im neunzehnten Jahrhundert, mehrere Versuche, auf eine solide Grundlage gestellt wurde Integralrechnung. Die Riemann-Integral, von Bernhard Riemann vorgeschlagen, legte den ersten solides Fundament, auf dem das ganze entwickelt. Die Definition von Riemann beginnt mit dem Aufbau einer Abfolge von berechenbaren rechteckige Bereiche, die dem Integral einer gegebenen Funktion konvergiert. Diese Definition ist positiv, da er stellt die entsprechenden und erwarteten Antworten auf viele Probleme bereits gelöst, ebenso wie wichtige und nützliche Ergebnisse für viele andere Probleme.

Jedoch Riemann Integration nicht gut, wenn unter Grenzen von Sequenzen von Funktionen, so dass es schwierig Analyse. Dies ist wichtig, beispielsweise bei der Untersuchung von der Fourier-Reihe, die Fourier-Transformation und andere Probleme. Das Lebesgue-Integral lässt Sie wissen, wie und wann Sie können Grenzen unter dem Integralzeichen zu nehmen.

Lebesguesche Definition macht es auch möglich, Integrale für eine breitere Klasse von Funktionen zu berechnen. Zum Beispiel kann die Dirichlet-Funktion, die 0 ist, wenn sein Argument ist irrational und 1 sonst hat volle Lebesgue, aber nicht Riemann.

Der Bau des Lebesgue-Integral

Die folgende Diskussion gibt die allgemeinste Definition dieses Integrals, wobei die Integrationstheorie besteht aus zwei Teilen, nämlich:

  • Eine Theorie der messbaren Mengen und Maßnahmen auf diesen Sets.
  • Eine Theorie der meßbaren Funktionen und Integrale auf diese Funktionen.

Maßtheorie

Das Maß Theorie wurde geschaffen, um eine detaillierte Analyse des Begriffs der Länge von Untermengen von Punkten auf der Zahlengeraden und allgemeiner Fläche und das Volumen von Teilmengen von euklidischen Räumen Analyse bereitzustellen. Insbesondere gibt uns diese Theorie eine systematische Antwort auf die Frage: Was Teilmengen von R kann mit ihnen lange in Verbindung gebracht werden?. Wie bei der Entwicklung der Theorie von Sätzen hervorgeht, ist es unmöglich, eine Untergruppe von jeder Länge R assoziieren, so dass die Translations Invarianzeigenschaften und Additivität mit Bezug auf die gemeinsame Bindung erfüllt. Diese Sätze werden als nicht messbar.

Natürlich nutzt der Riemann-Integral implizit das Konzept der Länge. Ein Grundnahrungsmittel dieser Art sind integraler Boxen, dessen Basis und Höhe und deren Länge · Bereich.

Bei der Entwicklung der modernen Theorie Buch der axiomatischen Methode wird verwendet, um das Ausmaß zu definieren, das heißt, dass eine Maßnahme ist eine Funktion μ auf bestimmte Teilmengen einer Menge E, die eine Liste von Eigenschaften erfüllt definiert.

Lebesgue Integration

Betrachten Sie einen nicht-negativen μ Maß σ-Algebra X von Teilmengen von E. Zum Beispiel E kann ein n-dimensionalen euklidischen Raum R oder jede messbare Teilmenge davon sein, X kann die σ-Algebra aller messbaren Teilmengen sein, E, und μ das Lebesgue-Maß sein. In der Theorie der Wahrscheinlichkeit μ kann ein Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsraum E. sein

In der Theorie der Lebesguesche Integralberechnung wird auf eine Art von Funktionen aufgerufen meßbaren Funktionen beschränkt. Eine Funktion ist messbar, wenn das Urbild von jedem abgeschlossenen Intervall X gehört, das heißt, ist eine meßbare Menge:

Der Satz von messbaren Funktionen unter algebraische Operationen geschlossen, aber noch wichtiger ist die Tatsache, dass diese Art wird auch bei der Einnahme von Grenzen der Funktionsabläufe geschlossen:

messbar, wenn die Funktionen sind die Bedingungen der {fk}, k N, nacheinander auch messbar.

Wir werden das Integral von Lebesgue bauen: für messbare reelle Funktionen f auf E in Stufen durch die Berechnung der Integrale der einfachen Funktionen eingebaut:

Feature oder Indikatorfunktion: Bei einer meßbare Teilmenge E S-Gehalt, die charakteristische Funktion H1 ist gleich 1 für die Einzelteile zu S gehörenden und 0 sonst.

Das Integral dieser Funktion ist es, das Maß für die Menge S. sein

Einfache Funktion: Eine einfache Funktion ist von der Form, wo ak reelle Zahlen sind und die Summe endlich.

Aus der obigen einfachsten Fall kann angenommen werden, dass das Ergebnis der Integration eine einfache Funktion ist:

Obwohl eine einfache Funktion kann als unterschiedliche Beträge das Ergebnis einer umfassenden unverändert ausgedrückt werden.

Nichtnegativen Funktion: Lassen Sie f ein auf E. definierten messbaren nichtnegativen Funktion sein

Funktionen mit Vorzeichen: Ein Zeichen-Funktion auf E definiert als die Summe von zwei nichtnegative Funktionen geschrieben werden:

wo

Wenn beide Integrale überprüft

dann können Sie das Lebesgue-Integral definieren von f folgt

Intuitive Interpretation

Folland fasste die zwei verschiedenen Möglichkeiten der Annäherung an das Konzept der integralen wie folgt: "die Berechnung der Riemann-Integral-Domäne wird in Teilintervalle unterteilt", während in der Lebesgue-Integral "der Bereich der f partitioniert ist."

Angenommen, wir um den Bereich einer Kurve berechnet werden soll. Wir haben zwei verschiedene Methoden, um eine Annäherung an diesen Bereich zu finden:

  • Riemann-Darbouxschen Verfahren, bei dem teilen wir die Kurve in den Spalten mit der gleichen Basis und Höhe entsprechend der Kurve in der mittleren Spalte. Die Fläche jeder Spalte gleich seiner Höhe an seiner Basis, und die Gesamtfläche der Kurve wird annähernd durch die Summe der Flächen aller Spalten angegeben. Dieser Fall ist äquivalent zu der Horizontalintervall zu unterteilen.
  • Lebesguesche Verfahren, bei dem teilen wir die Kurve in horizontalen Schichten mit gleicher Höhe, jedoch mit unterschiedlichen Bereich, aufgrund der unterschiedlichen Längen der Basis). Die Gesamtfläche der Kurve wird durch die Summe der Flächen aller Schichten) angenähert werden. Dieser Fall entspricht die Partitionierung der Bereich von f.

Beispiel: Dirichlet-Funktion

Betrachten Sie die auf dem Intervall definierte Kenn rationale Funktion. Diese Funktion ist nicht kontinuierlich an einer beliebigen Stelle ihrer Domäne, wird es integriert werden?

  •  Es ist nicht Riemann-integrierbar auf: egal wie dünn ist eine Partition des Intervalls jedes Teilintervall mindestens eine rationale Zahl und andere irrationale Zahl, da beide Sätze sind dicht in der realen. Daher ist jede höhere Summe ist 1 und der niedrigste aller höheren und niedrigeren Mengen beliebige Summe 0 ist, als das höchste aller Summen niedriger. Wenn die höchste und die winzigen unterscheiden Riemann-Integral ist nicht vorhanden.
  •  es Lebesguesche auf integrierbar: weil es der Indikatorfunktion der rationalen Zahlen definitions

denn es ist abzählbar.

Grundeigenschaften des Lebesgue-Integral

  • Wenn zwei Funktionen f und g sind die gleichen überall in Ihrer Domäne, außer auf einer Nullmenge, wenn f Lebesgue integrierbar, so g integrierbar Lebesgue und das Lebesgue-Integral der beiden Funktionen identisch.

Wenn dann

  • Linearität: Wenn f und g integrierbaren Funktionen Lebesgue fixiert und b reelle Zahlen sind, dann
  • Monotonie: Wenn f und g integrierbaren Funktionen Lesbesgue f & lt; g, dann
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