Boolesche Algebra

Boolesche Algebra in Informatik und Mathematik, eine algebraische Struktur, die die logischen Operationen umreißt AND, OR, NOT und OR sowie alle Operationen Vereinigung, Durchschnitt und zu ergänzen.

Geschichte

Die mathematische Analyse Logic, im Jahre 1847 veröffentlicht wurde, in Reaktion auf einen anhaltenden Kontroverse zwischen: Es wird zu Ehren von George Boole, englischer Mathematiker Autodidakt, der die ersten, die es als Teil einer logischen System zu definieren, zunächst in einem kleinen Büchlein war benannt Augustus De Morgan und Sir William Rowan Hamilton. Boolesche Algebra war ein Versuch, algebraischen Techniken verwenden, um mit Ausdrücken der Aussagenlogik behandeln. Eine Untersuchung der Gesetze des Denkens, auf denen gründete die mathematischen Theorien der Logik und Wahrscheinlichkeiten, im Jahre 1854 veröffentlicht: Später wurde es als wichtigste Buch erweitert.

Heute wird der Booleschen Algebra verbreitet auf dem Gebiet der Elektronik-Design angewandt. Claude Shannon war der erste, in Design bistabilen elektrischen Schaltkreisen gelten, im Jahr 1948. Diese Logik kann auf zwei Gebieten angewandt werden:

  • Analyse, denn es ist eine konkrete Art und Weise zu beschreiben, wie Schaltungen arbeiten.
  • Das Design als Funktion gelten, dass die Einnahme Algebra, um eine Implementierung der Funktion zu entwickeln.

Definition

Gegeben sei eine Menge: in denen festgelegt: mindestens durch die Elemente gebildet:

  • Eine interne unäre Operation, die wir als Zubehör:

Bei dieser Operation haben wir eine Anwendung zu definieren, wobei jedes Element B zugeordnet einen b B.

Für jedes Element in B, folgt daraus, daß es eine einzigartige b in B, so dass b ist das Komplement von a.

  • Die interne binäre Operation, die wir als Typ:

durch die wir eine Anwendung zu definieren, zu jedem geordneten Paar von B nach B, C zugeordnet einen B.

Für jedes Paar in B durch B geordnet gilt, daß es nur eine c in B ist, so dass c ist das Ergebnis der Addition zu b.

  • Die interne binäre Operation, die wir als Produkt:

Mit dem, was wir definieren, eine Anwendung, mit jedem geordneten Paar von B nach B, C zugeordnet einen B.

Für jedes Paar in B durch B geordnet gilt, daß es nur eine c in B ist, so dass c ist das Ergebnis des Produktes und b.

Angesichts der Definition der Booleschen Algebra als Gattungs algebraische Struktur nach dem betreffenden Fall können die Symbole und Bezeichnungen von Operationen variieren.

Axiome notwendig

Wir sagen, dass dieser Satz und gut definierte Operationen: eine Boolesche Algebra, wenn folgende Axiome:

  • 1a: Das assoziative Gesetz der Addition:
  • 1b: Das assoziative Gesetz Produkt:
  • 2a: Die Existenz des Identitätselement für die Zugabe:
  • 2b: Die Existenz des Identitätselement für das Produkt
  • 3a: Das kommutative Gesetz der Addition:
  • 3b: Das kommutative Gesetz Produkt:
  • 4a: distributive Gesetz der Addition für das Produkt:
  • 4b: distributive Produktgesetz der Summe:
  • 5A Element existiert Ergänzung der Summe:
  • 5b: Es stecken Element für Produkt:

Hauptsätze

Basierend auf den letzten fünf Axiomen, die Sie abziehen, und zeigen Sie die folgenden grundlegenden Sätze können:

  • 6a: Idempotenz Act der Summe:
  • 6b: Idempotenz Act für Produkt:
  • 7A Act Absorbertyp:
  • 7b: Act Absorption für Produkt:
  • 8a: Identitätsgesetz hinaus:
  • 8b: Identitätsgesetz für Produkt:
  • 9: Act Rückbildung:
  • 10: Ergänzung Law:
  • 11: Gesetze von De Morgan:

Bestellen in Boolesche Algebra

Es ist: Eine Boolesche Algebra, lassen Sie a, b zwei Elemente der Menge, dann können wir sagen, dass wir bezeichnen aby oben:

erfüllt ist, wenn eine der folgenden Bedingungen:

Diese vier Bedingungen als gleichwertig betrachtet und die Erfüllung einer notwendigerweise die Erfüllung der anderen. Definieren einer Halbordnung.

Wenn gilt:

Sie legen Wert für a, b, nachgiebiger als oben ab, oder b antedede aa, sagte, es b vergleichbar sind.

Wenn gilt:

Für Werte A, B, welche die oben ab Voraussetzung zu erfüllen, und b aa nicht antedede, wird gesagt, b sie sind nicht vergleichbar.

Prinzip der Dualität

Das Konzept der Dualität, diese Tatsache zu formalisieren: jede Beziehung oder logische Gesetz ist für seine Dual, durch die Summe Betreiber Austausch mit dem Produkt gebildet, und die verantwortlich.


Andere Formen der Notation der Booleschen Algebra

In binärer Logik ist es oft verwendete Schreibweise, häufig in Digitaltechnik, die häufigsten und die bequemste Art zu stellen.

Zum Beispiel De Morgan Gesetze werden wie folgt dargestellt:

Wenn Boolesche Algebra ist in der Elektronik, der gleiche Name wie für die Logik-Gatter AND, OR und NOT, den Ausbau manchmal mit X-OR und bestritt NAND, NOR und X-NOR oft verwendet. die Variablen können durch Groß- oder Kleinbuchstaben dargestellt werden, und kann die Werte übernehmen {0, 1}

Mit dieser Notation De Morgan Gesetze sind vertreten:

In ihrer Anwendung auf die Notation verwendet Logik und Variablen können die Werte übernehmen {F, V}, wahr oder falsch, äquivalent zu {0, 1}

Die logische Notation De Morgan Gesetze wäre wie folgt:

In dem Format-Set-Theorie Boolesche Algebra führt den Aspekt:

Bei dieser Notation die Gesetze von De Morgan möchte diese:

Ein anderer Weg, in Mengenalgebra der Booleschen Algebra, De Morgan Gesetze wäre wie folgt:

Vom praktischen Standpunkt aus gesehen gibt es eine vereinfachte Möglichkeit, Booleschen Ausdrücken zu vertreten. Apostrophe werden verwendet, um Denial zeigen, wird die Summenoperation in normaler Weise in der Algebra dargestellt und kein Anzeichen für das Produkt nicht benutzt wird, werden die Variablen dargestellt, in der Regel mit einem Großbuchstaben, die Aufeinanderfolge der zwei Variablen, die das Produkt aus ihnen keine Variable mit zwei Buchstaben benannt.

Die Darstellung der Rechtsvorschriften der De Morgan und bleiben Sie mit diesem System, mit Kleinbuchstaben für die Variablen:

und so, mit Großbuchstaben, um die Variablen darstellen:

Alle diese Formen der Repräsentation sind korrekt, effektiv genutzt wird, und können bei der Literatur gesehen. Die Verwendung von beiden Notation nicht die Boolesche Algebra, nur ihr Aussehen zu ändern, und hängt von der Zweig der Mathematik oder Technik, die verwendet wird, um die eine oder andere Schreibweise zu verwenden.

Algebraische Strukturen, die Boolesche Algebra sind

Es gibt zahlreiche Fälle von verschiedenen Analyse der algebraischen Strukturen, die Algebra Boolean entsprechen, obwohl sie offenbar sehr unterschiedlich sind, ist ihre Struktur das gleiche, wir werden einige von ihnen zu sehen, um spürbar die Ähnlichkeiten in der Struktur und den verschiedenen zu machen Zielfernrohre und andere Terminologie zu den Operationen oder Variablen beziehen, beobachten Sie es.

Binäre Logik

Eine Reihe von Fragen, scheinbar so verschiedenen, zwei Dinge gemeinsam, basierend auf binären logischen Nullen und Einsen und Boolesche Algebra, der wohl bekannteste Form dieser Algebra, was manchmal zu der Interpretation, dass das Algebra ausschließlich binären logischen und in diesem Fall festgelegt ist durch zwei Elemente {0,1} oder {gebildet F, V}, oder {nein yes}, zwei entgegengesetzte Werte, welche die zwei möglichen Alternativen zwischen zwei möglichen Situationen hier, ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir den Satz: {0,1}, wie wir gesagt haben,

Wo:

  • Interne unäre Operation, die wir als Denial:

Der unäre Operation internen Negation definieren, eine Anwendung, die jedes Element von {0,1}, vergeben einen b {0,1}.

Für jedes Element in {0,1}, so folgt daraus, daß es eine einzigartige b in {0,1}, so dass b ist die Negation a. Wie in der Tabelle gezeigt.

  • Die interne binäre Operation, die wir als Typ:

Mit dem Zusatz Betrieb definieren wir eine Anwendung, mit jedem geordneten Paar von B zu B, C zugeordnet a B.

Für jedes Paar in B durch B geordnet gilt, daß es nur eine c in B ist, so dass c ist das Ergebnis der Addition zu b.

  • interne binäre Operation, die wir als Produkt:

Mit der Operation definieren eine Anwendungsprodukt, jedes geordnete Paar von B nach B, C zugeordnet einen B.

Für jedes Paar in B durch B geordnet gilt, daß es nur eine c in B ist, so dass c ist das Ergebnis des Produktes und b. Wie können Sie in der Tabelle zu sehen.

Axiome

Das ist eine Boolesche Algebra, um die folgenden Axiome erfüllen:

  • 1a: Das assoziative Gesetz der Addition:
  • 1b: Das assoziative Gesetz Produkt:
  • 2a: Die Existenz des Identitätselement für die Zugabe:
  • 2b: Die Existenz des Identitätselement für das Produkt
  • 3a: Das kommutative Gesetz der Addition:
  • 3b: Das kommutative Gesetz Produkt:
  • 4a: distributive Gesetz der Addition für das Produkt:
  • 4b: distributive Produktgesetz der Summe:
  • 5A: Es gibt ein ergänzendes Element der Summe:
  • 5b: Es gibt ein komplementäres Element für das Produkt

Es ist dann Boolesche Algebra.

Hauptsätze

Aus diesen Axiomen können den folgenden Satz zu beweisen:

  • 6a: Idempotenz Act der Summe:
  • 6b: Idempotenz Act für Produkt:
  • 7A Act Absorbertyp:
  • 7b: Act Absorption für Produkt:
  • 8a: Identitätsgesetz hinaus:
  • 8b: Identitätsgesetz für Produkt:
  • 9: Act Rückbildung:
  • 10: Ergänzung Law:
  • 11: Gesetze von De Morgan:

Bestellen in Boolesche Algebra

Sie Boolesche Algebra basiert, da zwei binäre Variablen: a, b, die eine dieser Bedingungen erfüllen:

dann a kleiner oder gleich b. Angesichts der binären Werte 0 und 1, können wir sehen:

Diese vier Voraussetzungen gleichwertig und die Erfüllung der von ihnen impliziert die anderen in diesem Fall treffen ist einfach überprüfen Sie sie alle. Wir können dann sagen, über 0 bis 1 und bezeichnen wir:

Wenn wir wissen auch, dass 0 und 1 gibt verschiedene Werte:

Der Binärwert 0 kleiner als der Binärwert 1.

Stellen Algebra

Aus einer Menge U, irgendwelche, genannt Potenzmenge von U, die Menge aller möglichen Teilmengen von U und bezeichnen sie.

Als Beispiel können wir berücksichtigen:

Deren Macht-Set:

Wo wir definieren:

Und natürlich:

  • Interne unäre Operation, die wir als Zubehör:

Bei diesem Vorgang haben wir eine Anwendung zu definieren, um jedes Element P zugeordnet eine B P.

Für jedes Element A in P gilt, daß es nur ein B in P ist, so dass B die Ergänzung A.

Definieren der Ergänzung eines Satzes wie folgt aus:

B ist das Komplement von A, wenn sie meint, dass für jedes x, das zu B gehört, gehört x U x gehört zu A.

  • Die erste binäre Operation die Gewerkschaft Anruf:

Mit diesem internen binären Operation definieren wir eine Anwendung, mit jedem geordneten Paar von P nach P, bei einer C P.

Für jede geordnete Paar in P durch P gilt, daß es nur eine C in P ist, so dass C ist die Verbindung A und B.

Definieren der Vereinigung von zwei Sätzen wie:

Set C ist die Vereinigung von A und B, wenn für jedes Element x C gilt, dass x ein Element von A oder B

  • Die zweite binäre Operation der Anruf Kreuzung:

Mit dem, was wir definieren, eine Anwendung, mit jedem geordneten Paar von P nach P, bei einer C P.

Für jede geordnete Paar in P durch P gilt, daß es nur eine C in P ist, so dass C ist der Schnittpunkt A und B.

Definieren der Schnittpunkt der beiden Sätze wie:

Set C ist der Schnittpunkt von A und B, wenn für irgendein Element x C gilt, dass x ist Element von A und B.

Axiome

Mit was können wir für eine U fragen: wie Boolesche Algebra, wenn folgende Axiome bekannt:

  • 1a: Das assoziative Gesetz der Ehe:
  • 1b: Das assoziative Gesetz der Kreuzung:
  • 2a: Die Existenz des Identitätselement der Europäischen Union:
  • 2b: Die Existenz eines neutralen Element zum Schnitt:
  • 3a: Das kommutative Gesetz der Ehe:
  • 3b: Das kommutative Gesetz der Kreuzung:
  • 4a: distributive Gesetz über die Kreuzung Union:
  • 4b: die Kreuzung distributive Gesetz über die Ehe:
  • 5A: Es gibt ein ergänzendes Element zur Vereinigung:
  • 5b: Es gibt ein komplementäres Element an der Kreuzung:

Feststellung, dass eine Boolesche Algebra.

Hauptsätze

Aus diesen Axiomen können den folgenden Satz zu beweisen:

  • 6a: Idempotenz Gesetz der Europäischen Union:
  • 6b: Idempotenz Gesetz für den Schnittpunkt:
  • 7A Act Absorber Union:
  • 7b: Act Absorber Kreuzung:
  • 8a: Identitätsgesetz der Europäischen Union:
  • 8b: Identitätsgesetz für den Schnittpunkt:
  • 9: Act Rückbildung:
  • 10: Ergänzung Law:
  • 11: Gesetze von De Morgan:

Bestellen in Boolesche Algebra

Seit Boolesche Algebra, können wir sehen:

Für Mengen A und B, die diese Eigenschaften erfüllen, können wir sagen, dass ein voraus B, die im Fall von Joint würde sagen, A gleich oder eine Teilmenge von B und bezeichnen:

Es versteht sich, daß A gleich B oder eine Teilmenge, wenn:

Die Menge A gleich oder eine Teilmenge von B, wenn für alle zu A gehörenden x-Element gehört x zu B.

Sie können auch zu prüfen:

Für alle eine Gruppe von U, wenn gilt: die Vereinigung von A und U U, der Schnittpunkt von A und U A, Komplement-Bindung von A und U U, der Schnittpunkt von A und dem Komplement U ist die leere Menge, so ist A gleich oder eine Teilmenge von U.

Diese Schlussfolgerung ist Teil der Definition von Teilen des U, aber Sie können es durch die Erfüllung einer der vier genannten Merkmale zu erreichen, wie bereits erwähnt, sind die vier gleichen Bedingungen und die Erfüllung der von ihnen impliziert die Einhaltung des anderen.

Die Anwendung der gleichen Argumentation können wir sehen:

B ein Satz von Teilen des U, der Schlussfolgerung gelangt, dass die leere Menge, die gleich oder eine Teilmenge von B ist

Aussagen und Prädikatenlogik

Ein Vorschlag oder ein Prädikat ist ein Wahrheitswert, die mündlich oder Ausdrücke oder mathematischen oder logischen Beziehungen ausgedrückt werden kann, zum Beispiel:

  • 'Heute ist Mittwoch.'
  • "Das Gebäude ist groß."
  • 'Der Hund bellt. "

Sie sind Aussagen mündlich zum Ausdruck, und so sind:

  • 'X = 3'
  • "Mcd = 2n + 1 '

Da jeder von ihnen kann wahr oder falsch sein, Aussagen in der Regel durch Buchstaben gekennzeichnet:

  • p = 'Regen'
  • q = 'Es regnet viel'
  • r = 'Ich habe Regenschirm'
  • s = 'Die Straße ist nass'

Die wahre und falsche Aussagen werden auch Sätze mit bezeichnete: die Reihe von Sätzen, zu sehen, dass die Aussagenlogik ist eine Boolesche Algebra auch prüfen:

  • Interne unäre Operation, die wir als Denial:

Der unäre Operation internen Negation definieren, eine Anwendung, die jeder Satz weist eine andere poposición b.

Für jede Aussage, hält sie, dass es ein einzigartiges Angebot, so dass b b ist die Negation ein.

  • Der erste interne binäre Operation, die wir als Disjunktion:

Mit der Trennung Betrieb, eine Anwendung zu jedem geordneten Paar von B definieren wir durch B, C zugeordnet einen B.

Für jede geordnete Paar in B durch B, gilt, dass es nur ein B-C, so dass c ist das Ergebnis der Disjunktion und b.

  • Die zweite interne binäre Operation, die Verbindung Anruf:

Verbindung mit dem Betrieb wir eine Anwendung zu definieren, zu jedem geordneten Paar von B nach B, C zugeordnet einen B.

Für jedes Paar in B durch B geordnet gilt, daß es nur eine c in B ist, so dass c ist das Ergebnis einer Kombination von a und b.

Axiome

Das ist eine Boolesche Algebra, um die folgenden Axiome erfüllen:

  • 1a: Das assoziative Gesetz der Trennung:
  • 1b: Das assoziative Gesetz der Verbindung:
  • 2a: Die Existenz des Identitätselement zur Trennung:
  • 2b: Die Existenz des Identitätselement für die Kombination:
  • 3a: Das kommutative Gesetz der Trennung:
  • 3b: Das kommutative Gesetz der Verbindung:
  • 4a: distributive Gesetz der Trennung in Bezug auf die Verbindung:
  • 4b: distributive Gesetz der Trennung Verbindung in Bezug auf:
  • 5A: Es gibt ein ergänzendes Element zur Trennung:
  • 5b: Es ergänzendes Element der Kombination:

Es ist dann Boolesche Algebra.

Hauptsätze

Aus diesen Axiomen können den folgenden Satz zu beweisen:

  • 6a: Act Idempotenz für Disjunktion:
  • 6b: Idempotenz Act für die Verbindung:
  • 7A Absorptionsgesetz für die Trennung:
  • 7b: Act Absorber Kombination:
  • 8a: Identitätsgesetz Disjunktion:
  • 8b: Identitätsgesetz für die Verbindung:
  • 9: Act Rückbildung:
  • 10: Ergänzung Gesetz:
  • 11: Gesetze von De Morgan:

Bestellen in Boolesche Algebra

Zu wissen, dass es Boolesche Algebra, können Sie überprüfen:

Für den Sätzen: a, b, die eine dieser Bedingungen erfüllen kann sagen, dass b vorausgeht. Im Fall von Sätzen oder Prädikaten sagt man, wie oder stärker als B oder B ist schwächer als a und repräsentieren:

Betrachten Sie beispielsweise die Aussagen:

  • Es regnet viel a =
  • b = Regen

können wir sehen:

Wenn die Umstände von beliebigen zwei, viel regnet es oder regen auftritt, regen klar sowieso.

Wenn wir sagen, dass es viel regnet und es regnet, und die beiden Bedingungen erfüllt sind, dann regnet es viel.

Nicht viel regen regnen kann zeigt an, dass wenig oder kein regen, wenn es regnet oder nicht regnet viel umfasst alle Möglichkeiten, von trocken bis sehr nassen Wetter, dann ist die Aussage wahr ist auf jeden Fall.

Wenn wir sagen, dass es viel regnet und gleichzeitig es nicht regnet, ist die Aussage eindeutig falsch.

Die restriktivste Aussage ist die stärkste und schwächste weniger in diesem Fall restriktiv:

Der Satz ist alles regen viel stärker als es regnet, es regnet viel Behauptung ist ein besonderer Fall, oder wenn es regnet.

Boolesche Algebra Operationen

Boolesche Algebra basiert auf einem Satz, in dem Sie drei interne Operationen definiert haben, auf der Grundlage: a unären und zwei binäre, wie wir gesehen haben, dass diese Definition komfortabel. Streng genommen nur dann erforderlich, zwei unäre und binäre, so beispielsweise in der binären logischen Negation und das Produkt der Summe definieren.

Mit Morgan Gesetz:

Dieser Ausdruck ist komplexer, aber von Verleugnung und Binär-Produkt definiert die binäre Summe.

In dem rechten Bild kann man eine Parallelschaltung zweier B-Tasten, die mit der binären Summe von a und b entspricht und dessen Äquivalent in einer Serienschaltung von a und b, die beide durch in dem gleichen Wahrheitstabelle zu sehen, und beide sind gleichwertig, die Künstlichkeit der Serie um das gleiche Ergebnis zu erhalten, wie in eine Parallelschaltung zeigt, wie bequem, die Funktionsschaltung, die Möglichkeit der Erlangung der Summe von zwei binäre Variablen durch Verleugnung und die Produktshow der Ansicht, dass in der Grundform Boolesche Algebra wird nur auf zwei Operationen basiert, und daß jeder Ausdruck, in dem der betreffende Betrag kann in eine äquivalente transformiert werden, in dem nur die Verweigerung und das Produkt eingebunden.

Im Fall der Mengenlehre mit Schnittpunkt Fang und wir können die Ehe zu definieren:

In einer ähnlichen binären Algebra, oder jeder anderen Form der Booleschen Algebra, Algebra Definition von komplizierten Operationen mit nur zwei Ausdrücke, aber einige nützliche Beziehungen und verschiedene andere Operationen zu bestimmen.

In Boolesche Algebra in einer Gruppe definiert sind interne Vorgänge, als Teil des Elements, um ein Ergebnis zu erhalten.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, und angesichts der verschiedenen Formen kann Boolesche Algebra Aussagenlogik zu ergreifen, um die Vorschläge zu prüfen: a, c, b, usw. Sie können die wahren Werte zu nehmen: V oder falsch: F. Und die logischen Verknüpfungen auf jene Sätze, die anderen logischen Sätze führen, jeweils Satz: a, b, c usw. Definiert eine Gruppe A, B, C usw. Wir können grafisch dargestellt in einem Venn-Diagramm.

Nularias Operationen

Ein nullary Betrieb wird einen Wert zurückzugeben, ohne Argumente, sehen wir Tautologie und Kontradiktion

Die Tautologie hat den wahren Wert ohne Argumente oder unabhängig von den Variablen, auf dem sie berechnet wird. In Satz entspricht dem universellen Mengenlehre.

In der Aussagenlogik es entspricht dem Wert: true:

In einem Schaltkreis entspricht er einem geschlossenen feste Verbindung oder Brücke.


Der Widerspruch hat jedoch immer den Wert falsch ist, keine Notwendigkeit, was Argumente oder Argumente vorgelegt. In Satz entspricht der leeren Menge Theorie.

In der Aussagenlogik es entspricht dem Wert: false:

In einem Schaltkreis entspricht dem offenen Brückenverbindung oder nicht.


Unäre Operationen

Ein unärer Betrieb ist ein Argument, das nur brauchen, um ein Ergebnis zu präsentieren, sehen wir zwei unäre Operationen: Identität und Verleugnung.

Die Identität Betrieb hat den Wertbeitrag der Variation.

Diese Operation kann mit dem elektronischen Gerät Pufferverstärker erfolgen.

In entspricht ein Schaltkreis auf einen normalerweise offenen Schalter: Schalten NA.


Die logische Negation Betrieb stellt eine variable Kontrastwert des Arguments, oder die im Widerspruch Fällen im Argument gesammelt.

Dieser Vorgang ist mit dem NICHT-Gate erfolgt.

In entspricht ein Schaltkreis mit einem normalerweise geschlossenen Schalter: Schalten NC.


Binäre Operationen

Die binäre Operation ist die, die zwei Argumente übernimmt, in der Tat ist die am weitesten verbreitete Form der Transaktion, in der Regel, wenn es um Operationen verweisen wir auf binäre Operationen, Boolesche Algebra kann die folgenden binären Operationen finden Sie unter:

Die logische Verbindung Ergebnis stellt nur wahr, wenn seine beiden Argumente wahr sind.

Normalerweise vertreten:

Die logische Verbindung von Sätzen entspricht dem Satz Kreuzung auf der Mengenlehre oder Logikgatter:

Schaltkreise würde eine Serienschaltung von Schaltern.


Denial präsentiert alternative Folge gilt in allen Fällen, außer, wenn seine beiden Argumente wahr sind. Diese Operation ist die Negation der Verbindung.

Die logische Verbindung von Sätzen entspricht dem NAND-Logikgatter.


Die Disjunktion akzeptiert zwei Argumente als wahr präsentiert, wenn eine der Argumente wahr ist.

Die Trennung kann ausgedrückt werden:

Die Disjunktion von Sätzen Betrieb entspricht der Vereinigung von Mengen in der Mengenlehre, logisches ODER-Gatter:

pnIch Nachalo und der Parallelschaltung in Schaltkreisen


Haftungsausschluss gemeinsamen präsentiert echte Ergebnisse nur dann, wenn ihre beiden Argumente sind falsch. Diese Operation ist die Negation der Disjunktion.

Das Gelenk Verneinung von Sätzen entspricht dem NOR-Logikgatter.


Bedingtes Material präsentiert falsches Ergebnis, wenn das erste Argument ist wahr und die zweite falsch, in anderen Fällen hat sich als wahr zu sein, ist dieser Vorgang nicht kommutativ und kann ausgedrückt werden:

Dieser Vorgang wird auch als Beteiligung: a bedeutet, b:

Dieser Vorgang entspricht einer Reihe von komplexen Logikgatter:


Die bedingte Denial Material hat sich als wahr zu sein, wenn das erste Argument ist wahr und die zweite falsch, in anderen Fällen ist falsch geführt, diese Operation nicht kommutativ und ist die Negation der bedingten Material wird manchmal als Differenz von A und B, können Sie zum Ausdruck bringen:

Dieser Vorgang entspricht einer Reihe von komplexen Logikgatter:


Bedingte Umkehrmaterial ist die Operation, die falsch, wenn das erste Argument ist falsch und das zweite wahr ist, in anderen Fällen hat sich gezeigt, um wahr zu sein, geführt hat, ist diese Operation nicht kommutativ und ist das Ergebnis der Wechsel b in subjunktion, können Sie zum Ausdruck bringen:

Dieser Vorgang entspricht einer Reihe von komplexen Logikgatter:


Haftungsausschluss bedingtes Umkehrmaterial hat sich als wahr zu sein, wenn das erste Argument ist falsch und das zweite wahr ist, in anderen Fällen ist falsch geführt, diese Operation nicht kommutativ ist und umgekehrt die Verweigerung der parole, oft auch als Unterschied: b - a, ausgedrückt werden kann:

Dieser Vorgang entspricht einer Reihe von komplexen Logikgatter:


Das Ergebnis hat biconditional dann, wenn die zwei Argumente gleich sind, das heißt, wenn a und b wahr sind, oder wenn A und B falsch sind.

Es ist Sache des XNOR-Gatters.


Das Ergebnis hat exklusive Disjunktion wahr, wenn beide Argumente werden gemischt, das heißt, wenn eines der beiden Argumente wahr und die andere falsch ist, ist es die Negation der biconditional:

Dieser Vorgang wird auch als oder exklusiv, der eine oder andere aber nicht beide, dann ist es das Tor: XOR.


Boolesche Formel shapely

Von insgesamt; und wobei a, b, c, d, ... sind Variablen oder Konstanten, die Werte in der Menge, die die folgenden internen Operationen definiert erfolgen:



Wir können sagen, dass sie wohlgeformte Formeln: FBF:

1: Eine Variable oder Konstante:

2: Die Verweigerung einer Variablen oder Konstanten:

3: Die binäre Operation zwischen zwei Variablen oder Konstanten:

4: Das Ergebnis der Substitution eines konstanten wohlgeformte Formel, eine Variable oder eine wohlgeformte Formel:

Wiederholte Anwendung dieser Kriterien immer geben Ihnen eine wohlgeformte Formel.

Beispiel:

Sie können so viele Klammern wie nötig zu verwenden, um Unklarheiten zu vermeiden, die Vermeidung der unnötigen Verwendung von Klammern.

Hierarchie der Operatoren

Bei der Bewertung eines booleschen Ausdrucks, sollten Operationen nach Rang, indem zuerst der Senior durchgeführt werden. Wenn es Klammern müssen zuerst innersten gelöst werden und erarbeiten. In Abwesenheit von Klammern, die Hierarchie von Operationen ist, in absteigender Reihenfolge, wie folgt:

Wenn Sie mehrere Transaktionen mit der gleichen Hierarchie haben, können sie von rechts nach links ausgewertet oder von links nach rechts ist, ist das Ergebnis das gleiche.

Als ein Beispiel betrachte man die Auswertung der folgenden Booleschen Ausdrücke:

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