Binomialsatz

In der Mathematik, dem binomischen Lehrsatz ist eine Formel, die die Entwicklung der n-te Potenz einer binomischen n zur Verfügung stellt. Nach dem Satz, ist es möglich, die Leistung einer Summe mit Bezug auf die x und Form, wobei b und c Exponenten sind natürliche Zahlen mit b + c = n zu erweitern, und der Koeffizient von jedem Term eine positive ganze Zahl, die abhängig n und b. Wenn ein Exponent Null ist, wird der entsprechende Leistungsterm üblicherweise weggelassen. B.

Der Koeffizient in Bezug auf die x - xy als Binomialkoeffizienten oder bekannt.

Formulierung des Satzes

Dieser Satz heißt es: Mit Hilfe der Formel, um den Wert des folgenden Darstellung Berechnung erhalten wird:

es aufgerufen binomischen Koeffizienten und die Anzahl von Möglichkeiten zur Auswahl k Elemente aus einer Menge von n Elementen. In der Regel die Binomialsatz wird im folgenden Variante exprimiert:

Beispiel

Als ein Beispiel für n = 2, n = 3, n = 4, unter Verwendung der Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks:

Für die Erweiterung der Befugnisse einer Subtraktion, -und nur stattfinden, und die Bedingungen mit ungeraden Potenzen von y. Der Ausdruck ist wie folgt:

Generalized Binomialsatz

Isaac Newton verallgemeinert die Formel zu anderen Exponenten zu nehmen, wenn man bedenkt eine unendliche Reihe:

Wobei R jede reelle Zahl sein, und die Koeffizienten sind gegeben durch:

Etc. nicht in diesem Fall angezeigt).

Ein sinnvoller Weg, aber nicht offensichtlich dem Kehrleistung:

Die Summe konvergiert und Gleichberechtigung ist gültig, wenn die reelle oder komplexe Zahlen x und y ausreichend nahe sind, in dem Sinne, dass der Absolutwert | x / y | kleiner als eins ist.

Binomialkoeffizienten

Um den binomischen Lehrsatz anwenden, wird der Binomialkoeffizienten so einfach vorgestellt:

Geschichte

Newton zugeschrieben wird der Satz tatsächlich zuerst von Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karadsch rund 1000 entdeckte Durch die Anwendung der Methoden der John Wallis Interpolation und Extrapolation auf neue Probleme, verwendet Newton die Konzepte der Exponenten Generali Verwendung eines Polynoms, die in einer unendlichen Reihe umgewandelt wurde. So war er in der Lage zu zeigen, dass eine große Anzahl von bestehenden Serien wurden Einzelfall entweder durch Differenzierung oder Integration.

Die Entdeckung des Binomialreihe ist ein wichtiges Ergebnis in sich selbst; Doch von dieser Entdeckung Newton hatte die Intuition, die in ähnlicher Weise unendliche Reihe mit begrenzter Polynomausdrücke betreiben könnte.

Newton nie veröffentlicht den binomischen Lehrsatz. Wallis tat es zuerst im Jahre 1685 in seinem Algebra, zuzuschreiben diese Entdeckung Newton.

Die binomischen Satz für n = 2 ist in Euklids Elemente, auch der Begriff "Binomialkoeffizienten" wurde von Michel Stifer im sechzehnten Jahrhundert eingeführt.

Die Paare werden auch mit algebraischen Ausdrücken gelöst.

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